《劳动合同法》第10条规定：建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起1个月内订立书面劳动合同。《 劳动合同法》第82条规定：用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍的工资。依据上述规定，该企业由于与朱先生建立劳动关系后没有与其签订书面劳动合同，朱先生可以根据这一事实，要求企业支付2倍的工资。但是朱先生自2008年5月入厂，工作至2011年6月，并于2011年6月份申请劳动仲裁，依据《劳动合同法》第14条第3款规定：用人单位自用工之日起满1年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。依据《劳动争议调解仲裁法》第27条规定：劳动争议申请仲裁的时效期间为1年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。山东省高级人民法院2008年民事审判工作会议纪要第3条第（4）项规定：根据《劳动合同法》的规定，用人单位自劳动用工之日起满1年不与劳动者签订劳动合同的，视为用人单位已与劳动者签订无固定期限劳动合同，在此种情形下，劳动者请求用人单位承担《劳动合同法》第82条规定的赔偿责任，原则上不予支持。劳动仲裁部门于是裁决驳回了朱先生的仲裁请求。

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